Rumus deret aritmatika dan deret geometri

DERET ARITMATIKA

Deret hitung atau deret aritmetika dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu. Contohnya adalah 3,5,7,9,11,13, ..... Deret aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

${\displaystyle a,a+b,a+2b,a+3b,...}$

Dalam hal ini suku ke-n:

${\displaystyle \ a_{n}=a+(n-1)b,}$

Jumlah semua suku:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a+a_{n})={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b].}$

Pembuktian

Suku ke-n

${\displaystyle a_{1}=a}$

${\displaystyle a_{2}=a+b}$

${\displaystyle a_{3}=a+2b}$

....

${\displaystyle a_{n}=a+(n-1)b}$

jadi jumlah suku ke-n adalah ${\displaystyle a_{n}=a+(n-1)b}$

Jumlah suku ke-n

${\displaystyle s_{n}=a+a+b+a+2b+....+a+(n-1)b}$ .... (1)

${\displaystyle s_{n}=a+(n-1)b+a+(n-2)b+a+(n-3)b+....+a+2b+a+b+a}$ ... (2) dibalik dengan cara cermin

persamaan (1) ditambah (2) menjadi:

${\displaystyle s_{n}+s_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+....+2a+(n-1)b}$ karena ${\displaystyle 2a+(n-1)b}$ sama banyaknya menjadi jumlah ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 2s_{n}=n[2a+(n-1)b]}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]}$

Rumus umum

${\displaystyle a_{n}=a+(n-1)b}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]}$

${\displaystyle b=a_{n}-a_{n-1}}$

${\displaystyle u_{t}={\frac {a+{a_{n}}}{2}}}$

${\displaystyle n_{b}=n+(n-1)x}$

${\displaystyle b_{b}={\frac {b}{x+1}}}$

______________________________________________________________________________

DERET GEOMETRI

Deret ukur atau deret geometri dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Deret ukur dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

${\displaystyle ar^{0}=a,ar^{1}=ar,ar^{2},ar^{3},...\,}$

di mana r ≠ 0 adalah bilangan rasio pengali dan a adalah faktor skala. Dalam hal ini suku ke-n:

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}$

Jumlah semua suku:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}}$ untuk r > 1, dan

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}$ untuk r < 1.

Pembuktian

Suku ke-n

${\displaystyle a_{1}=a}$

${\displaystyle a_{2}=a\,r^{1}}$

${\displaystyle a_{3}=a\,r^{2}}$

....

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}$

jadi jumlah suku ke-n adalah ${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}$

Jumlah suku ke-n

${\displaystyle s_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+....+a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}}$ .... (1)

${\displaystyle s_{n}r=a\,r^{1}+a\,r^{2}+a\,r^{3}+....+a\,r^{n-1}+a\,r^{n}}$ ... (2) dikalikan dengan r

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

${\displaystyle s_{n}-s_{n}r=a-a\,r^{1}+a\,r^{1}-a\,r^{2}+a\,r^{2}-a\,r^{3}+....+a\,r^{n-2}-a\,r^{n-1}+a\,r^{n-1}-a\,r^{n}}$

${\displaystyle s_{n}\,(1-r)=a-a\,r^{n}}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}}$

Deret geometri tak terhingga

${\displaystyle s_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}$ untuk -1 < r < 1 di mana ${\displaystyle n}$ adalah ${\displaystyle \infty }$ serta ${\displaystyle r^{n}}$ adalah 0.

Deret geometri ganjil dan genap

${\displaystyle s_{n}={\frac {a}{1-r^{2}}}}$ untuk bilangan ganjil.

${\displaystyle s_{n}={\frac {a\,r}{1-r^{2}}}}$ untuk bilangan genap.

Rumus umum

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(1-r^{n})}{1-r}}}$ untuk r < 1

${\displaystyle s_{n}={\frac {a\,(r^{n}-1)}{r-1}}}$ untuk r > 1

${\displaystyle s_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}$ untuk -1 < r < 1

${\displaystyle r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}}$

${\displaystyle u_{t}={\sqrt {a\,{a_{n}}}}}$

${\displaystyle n_{b}=n+(n-1)x}$

${\displaystyle r_{b}=r^{\frac {1}{x+1}}}$